La solución de la ecuación de difusión de calor cumple con la serie de Fourier.
¿Qué pasaría si calentaras una pequeña sección de una varilla de metal aislada y la dejaras sola por un tiempo? Nuestra experiencia diaria de difusión de calor nos permite predecir que la temperatura se estabilizará hasta volverse uniforme. En un escenario de aislamiento perfecto, el calor permanecerá en el metal para siempre.
Ésta es una descripción cualitativa correcta del fenómeno, pero ¿cómo podemos describirlo cuantitativamente?
Consideramos el problema unidimensional de una varilla metálica delgada envuelta en un material aislante. El aislamiento evita que el calor se escape de la varilla por el lateral, pero el calor puede fluir a lo largo del eje de la varilla.
Puedes encontrar el código utilizado en esta historia. aquí.
EL ecuación de difusión de calor es una ecuación diferencial simple de segundo orden en dos variables:
x ∈ [0, L] es la posición a lo largo de la varilla, t es el tiempo, u(x, t) es la temperatura y α es la difusividad térmica material.
¿Qué intuición se puede obtener sobre la evolución de la temperatura al examinar la ecuación de difusión de calor?
La ecuación (1) establece que la tasa local de cambio de temperatura es proporcional a la curvatura, es decir, la segunda derivada con respecto a x, del perfil de temperatura.
La Figura 1 muestra un perfil de temperatura de tres secciones. La primera sección es lineal, la segunda sección tiene una segunda derivada negativa y la tercera sección tiene una segunda derivada positiva. Las flechas rojas indican la tasa de cambio de temperatura a lo largo del tallo.
Si alguna vez se alcanza un estado estable donde ∂u/∂t = 0, el perfil de temperatura tendrá que suavizarse hasta el punto en que el perfil de temperatura sea lineal.
La solución¹ a la ecuación de difusión de calor (1) es:
Podemos verificar derivando (2) que se satisface la ecuación diferencial (1). Para aquellos interesados en la derivación, consulte el Apéndice I.
Los coeficientes {Aₙ}, {Bₙ}, {λₙ}, C, D y E son constantes que deben ajustarse a partir de las condiciones iniciales y limitantes del caso. El trabajo que hemos realizado en el estudio de las series de Fourier jugará!
Las condiciones de contorno son las restricciones impuestas a x=0 y x=L. Encontramos dos tipos de restricciones en escenarios prácticos:
- Aislamiento, lo que resulta en ∂u/∂x=0 al final de la varilla. Esta restricción impide que el calor circule dentro o fuera de la varilla;
- Temperatura fija en la punta de la varilla: por ejemplo, la punta de la varilla podría calentarse o enfriarse mediante un refrigerador termoeléctricomanteniéndolo a la temperatura deseada.
La combinación de tipos de restricciones determinará el sabor apropiado de la serie de Fourier para representar el perfil de temperatura inicial.
Ambos extremos están aislados
Cuando ambos extremos de la varilla están aislados, el gradiente del perfil de temperatura se establece en cero en x = 0 y x = L:
La condición inicial es el perfil de temperatura a lo largo de la varilla en t=0. Supongamos que por alguna oscura razón (tal vez el tallo estuviera poseído por una fuerza maligna) el perfil de temperatura se ve así:
Para ejecutar nuestra simulación de la evolución de la temperatura, necesitamos hacer coincidir la ecuación (2) evaluada en t = 0 con esta función. Conocemos el perfil de temperatura inicial por puntos de muestreo pero no su expresión analítica. Esta es una tarea que implica una expansión en serie de Fourier.
Desde nuestro trabajo en series de Fourierobservamos que un alcanzar una extensión igual a la mitad de la altura da una función cuya derivada es cero en ambos extremos. Esto es lo que necesitamos en este caso.
La Figura 3 muestra la expansión uniforme de medio rango de la función en la Figura 2:
Aunque el número finito de términos utilizados en la reconstrucción crea fluctuaciones en las discontinuidades, la derivada es cero en los extremos.
Igualando las ecuaciones (4), (5), (6) y (7) con la ecuación (2) evaluada en t=0:
Podemos resolver las constantes:
Echemos un vistazo más de cerca (14). Esta expresión establece que λₙ es proporcional al cuadrado de n, que es el número de semiperíodos recorridos por un término coseno particular en el rango [0, L]. En otras palabras, n es proporcional a la frecuencia espacial. La ecuación (2) incluye un factor exponencial exp(λₙt), que obliga a cada componente de frecuencia a atenuarse con el tiempo. Dado que λₙ aumenta con el cuadrado de la frecuencia, esperamos que los componentes de alta frecuencia del perfil de temperatura inicial se atenúen mucho más rápido que los componentes de baja frecuencia.
La Figura 4 muestra una gráfica de u(x, t) durante el primer segundo. Observamos que el componente de mayor frecuencia en el lado derecho desaparece en 0,1 s. El componente de frecuencia moderado en la sección central se desvanece considerablemente pero permanece visible después de 1 s.
Cuando la simulación se ejecuta durante 100 segundos, obtenemos una temperatura casi uniforme:
Ambos extremos a una temperatura fija.
Manteniendo ambos extremos a temperatura constante, tenemos condiciones de contorno de la forma:
El conjunto de series de Fourier que estudiamos en el post anterior no incluía el caso de temperaturas límite fijadas en valores distintos de cero. Necesitamos reformular el perfil de temperatura inicial u₀(x) para desarrollar una función que evalúe 0 a x=0 y x=L. Definamos un perfil de temperatura inicial desplazado û₀(x):
La función recién definida û₀(x) desplaza linealmente el perfil de temperatura inicial u₀(x) de manera que û₀(0) = û₀(L) = 0.
A modo de ilustración, la Figura 6 muestra un perfil de temperatura inicial arbitrario u₀, con temperaturas establecidas de 30 en x=0 y 70 en x=0,3. La línea verde (Cx + D) va de (0, 30) a (0,3, 70). La curva naranja representa û₀(x) = u₀(x) — Cx — D:
El perfil de temperatura inicial desplazado û₀(x), que pasa por cero en ambos extremos, se puede desarrollar con extraña extensión de medio rango:
Igualando la ecuación (2) con (17), (18), (19), (20) y (21):
Podemos resolver las constantes:
Ahora se puede ejecutar la simulación del perfil de temperatura en el tiempo u(x, t), a partir de la ecuación (2):
En estado estacionario, el perfil de temperatura es lineal entre los dos puntos de ajuste y el calor constante fluye a través de la varilla.
Aislamiento en el extremo izquierdo, temperatura fija en el extremo derecho
Tenemos estas condiciones de contorno:
Básicamente seguimos el mismo procedimiento que antes. Esta vez, modelamos el perfil de temperatura inicial con un extensión uniforme de un cuarto de luz para obtener una derivada cero en el extremo izquierdo y un valor fijo en el extremo derecho:
Lo que lleva a las siguientes constantes:
La simulación de más de 1000 segundos muestra el comportamiento esperado. El extremo izquierdo tiene un gradiente de temperatura cero y el extremo derecho permanece a una temperatura constante. El estado estacionario es una varilla a temperatura uniforme:
Estudiamos el problema de la dinámica del perfil de temperatura en una varilla metálica delgada. De la ecuación diferencial que lo gobierna deducimos la solución general.
Consideramos diferentes configuraciones de límites. Los escenarios límite nos llevaron a expresar el perfil de temperatura inicial según uno de los Los sabores de la serie de Fourier que derivamos en el post anteriorLa expresión en serie de Fourier del perfil de temperatura inicial nos permitió resolver las constantes de integración y ejecutar la simulación de u(x, t).
Gracias por su tiempo. Puedes experimentar con el código. en este deposito. ¡Déjame saber lo que piensas!
